【为学故事】拟线性Schrödinger-Poisson系统的研究

为鼓励研究生学术创新和产出高水平学术成果，培养拔尖创新人才，学校设立了“研究生高水平学术创新项目”。项目实施以来，在各院系通力配合和研究生导师精心指导下，多名研究生取得了优异成绩和创新性成果。为此，研究生院推出【为学故事】系列报道，介绍2021年度“研究生高水平学术创新项目”优秀研究生及其科研工作，以期在广大研究生之中，倡导严谨笃学、求实求新之精神，培育勤勉致知、善学进取之学风。

杜瑶（数学科学学院 基础数学专业 博士研究生）

导师：苏加宝

科研感言：学数学坐得住很重要，天道酬勤

1900年，世界著名数学家Hilbert在巴黎国际数学家大会上提出了著名的“Hilbert 23个问题”，其中有2个问题与变分法有关。变分法是研究变分问题逐步发展起来的数学学科分支，它的起源可追溯到1662 年建立的费马原理。

在学校研究生高水平学术创新项目的支持下，在导师苏加宝教授的指导下，我们应用变分方法研究了具有很强物理背景的椭圆型偏微分方程---Schrödinger-Poisson系统。该系统源于量子力学模型和半导体理论，描述了带电粒子在电磁场中的作用。p-拉普拉斯算子具有重要的物理背景，且p-拉普拉斯算子与某些方程耦合可以很好地模拟各种物理问题。我们首次研究了一类由带有p-拉普拉斯算子的Schrödinger方程与带有q-拉普拉斯算子的Poisson方程耦合而成的拟线性椭圆系统。这是我们开辟的全新拟线性椭圆系统，是经典系统的自然推广。我们借助泛函分析理论，研究了带有q-拉普拉斯算子的Poisson方程解的性质，并建立了这类拟线性Schrödinger-Poisson系统的变分框架。通过对比这类拟线性系统与半线性系统相应的结论和研究方法，我们梳理了拟线性与半线性系统之间的区别和联系。我们对半线性和拟线性Schrödinger-Poisson系统，给出了严格细致的统一研究框架，为后续研究拟线性系统打好了基础。上述研究成果部分已在SCI期刊上发表：

[1] Du Yao, Su Jiabao, Wang Cong, On the critical Schrödinger-Poisson system with p-Laplacian. Commun. Pure Appl. Anal. 21(2022) 1329-1342.

[2] Du Yao, Su Jiabao, Wang Cong, On a quasilinear Schrödinger-Poisson system. J. Math. Anal. Appl. 505(2022) 125446.

[3] Du Yao, Su Jiabao, Ground state solutions for Schrödinger-Poisson systems with multiple weighted critical exponents. NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 28(2021) 33.

[4] Du Yao, Su Jiabao, Wang Cong, The Schrödinger-Poisson system with p-Laplacian. Appl. Math. Lett. 120(2021) 107286.

上述研究模型、方法和结果发表以后，已受到了国内外同行的关注和跟踪。

在后续工作中，我们将研究这类拟线性Schrödinger-Poisson系统的基态解、正解、变号解、多解、半经典解的存在性以及解的有界性、正则性、渐近性、唯一性等性质。研究结果将有助于人们对拟线性Schrödinger-Poisson系统的认识，推动对拟线性系统以及其它带有p-拉普拉斯算子的变分问题的研究。